Если в задаче необходимо произвести полное исследование функции f (x) = x 2 4 x 2 - 1 с построением его графика, тогда рассмотрим этот принцип подробно.

Для решения задачи данного типа следует использовать свойства и графики основных элементарных функций. Алгоритм исследования включает в себя шаги:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Нахождение области определения

Так как исследования проводятся на области определения функции, необходимо начинать с этого шага.

Пример 1

Заданный пример предполагает нахождение нулей знаменателя для того, чтобы исключить их из ОДЗ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; + ∞

В результате можно получить корни, логарифмы, и так далее. Тогда ОДЗ можно искать для корня четной степени типа g (x) 4 по неравенству g (x) ≥ 0 , для логарифма log a g (x) по неравенству g (x) > 0 .

Исследование границ ОДЗ и нахождение вертикальных асимптот

На границах функции имеются вертикальные асимптоты, когда односторонние пределы в таких точках бесконечны.

Пример 2

Для примера рассмотрим приграничные точки, равные x = ± 1 2 .

Тогда необходимо проводить исследование функции для нахождения одностороннего предела. Тогда получаем, что: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) · 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (+ 0) · 2 = + ∞

Отсюда видно, что односторонние пределы являются бесконечными, значит прямые x = ± 1 2 - вертикальные асимптоты графика.

Исследование функции и на четность или нечетность

Когда выполняется условие y (- x) = y (x) , функция считается четной. Это говорит о том, что график располагается симметрично относительно О у. Когда выполняется условие y (- x) = - y (x) , функция считается нечетной. Значит, что симметрия идет относительно начала координат. При невыполнении хотя бы одного неравенства, получаем функцию общего вида.

Выполнение равенства y (- x) = y (x) говорит о том, что функция четная. При построении необходимо учесть, что будет симметричность относительно О у.

Для решениянеравенства применяются промежутки возрастания и убывания с условиями f " (x) ≥ 0 и f " (x) ≤ 0 соответственно.

Определение 1

Стационарные точки – это такие точки, которые обращают производную в ноль.

Критические точки - это внутренние точки из области определения, где производная функции равняется нулю или не существует.

При решении необходимо учитывать следующие замечания:

• при имеющихся промежутках возрастания и убывания неравенства вида f " (x) > 0 критические точки в решение не включаются;
• точки, в которых функция определена без конечной производной, необходимо включать в промежутки возрастания и убывания (к примеру, y = x 3 , где точка х = 0 делает функцию определенной, производная имеет значение бесконечности в этой точке, y " = 1 3 · x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , х = 0 включается в промежуток возрастания);
• во избежание разногласий рекомендовано пользоваться математической литературой, которая рекомендована министерством образования.

Включение критических точек в промежутки возрастания и убывания в том случае, если они удовлетворяют области определения функции.

Определение 2

Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти :

• производную;
• критические точки;
• разбить область определения при помощи критических точек на интервалы;
• определить знак производной на каждом из промежутков, где + является возрастанием, а - является убыванием.

Пример 3

Найти производную на области определения f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Решение

Для решения нужно:

• найти стационарные точки, данный пример располагает х = 0 ;
• найти нули знаменателя, пример принимает значение ноль при x = ± 1 2 .

Выставляем точки на числовой оси для определения производной на каждом промежутке. Для этого достаточно взять любую точку из промежутка и произвести вычисление. При положительном результате на графике изображаем + , что означает возрастание функции, а - означает ее убывание.

Например, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0 , значит, первый интервал слева имеет знак + . Рассмотрим на числовой прямой.

Ответ:

• происходит возрастание функции на промежутке - ∞ ; - 1 2 и (- 1 2 ; 0 ] ;
• происходит убывание на промежутке [ 0 ; 1 2) и 1 2 ; + ∞ .

На схеме при помощи + и - изображается положительность и отрицательность функции, а стрелочки – убывание и возрастание.

Точки экстремума функции – точки, где функция определена и через которые производная меняет знак.

Пример 4

Если рассмотреть пример, где х = 0 , тогда значение функции в ней равняется f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0 . При перемене знака производной с + на - и прохождении через точку х = 0 , тогда точка с координатами (0 ; 0) считается точкой максимума. При перемене знака с - на + получаем точку минимума.

Выпуклость и вогнутость определяется при решении неравенств вида f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0 . Реже используют название выпуклость вниз вместо вогнутости, а выпуклость вверх вместо выпуклости.

Определение 3

Для определения промежутков вогнутости и выпуклости необходимо:

• найти вторую производную;
• найти нули функции второй производной;
• разбить область определения появившимися точками на интервалы;
• определить знак промежутка.

Пример 5

Найти вторую производную из области определения.

Решение

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Находим нули числителя и знаменателя, где на примере нашего примера имеем, что нули знаменателя x = ± 1 2

Теперь необходимо нанести точки на числовую ось и определить знак второй производной из каждого промежутка. Получим, что

Ответ:

• функция является выпуклой из промежутка - 1 2 ; 1 2 ;
• функция является вогнутой из промежутков - ∞ ; - 1 2 и 1 2 ; + ∞ .

Определение 4

Точка перегиба – это точка вида x 0 ; f (x 0) . Когда в ней имеется касательная к графику функции, то при ее прохождении через x 0 функция изменяет знак на противоположный.

Иначе говоря, это такая точка, через которую проходит вторая производная и меняет знак, а в самих точках равняется нулю или не существует. Все точки считаются областью определения функции.

В примере было видно, что точки перегиба отсутствуют, так как вторая производная изменяет знак во время прохождения через точки x = ± 1 2 . Они, в свою очередь, в область определения не входят.

Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот

При определении функции на бесконечности нужно искать горизонтальные и наклонные асимптоты.

Определение 5

Наклонные асимптоты изображаются при помощи прямых, заданных уравнением y = k x + b , где k = lim x → ∞ f (x) x и b = lim x → ∞ f (x) - k x .

При k = 0 и b , не равному бесконечности, получаем, что наклонная асимптота становится горизонтальной .

Иначе говоря, асимптотами считают линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Это способствует быстрому построению графика функции.

Если асимптоты отсутствуют, но функция определяется на обеих бесконечностях, необходимо посчитать предел функции на этих бесконечностях, чтобы понять, как себя будет вести график функции.

Пример 6

На примере рассмотрим, что

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

является горизонтальной асимптотой. После исследования функции можно приступать к ее построению.

Вычисление значения функции в промежуточных точках

Чтобы построение графика было наиболее точным, рекомендовано находить несколько значений функции в промежуточных точках.

Пример 7

Из рассмотренного нами примера необходимо найти значения функции в точках х = - 2 , х = - 1 , х = - 3 4 , х = - 1 4 . Так как функция четная, получим, что значения совпадут со значениями в этих точках, то есть получим х = 2 , х = 1 , х = 3 4 , х = 1 4 .

Запишем и решим:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 · 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0 , 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 · 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 · 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0 , 08

Для определения максимумов и минимумов функции, точек перегиба, промежуточных точек необходимо строить асимптоты. Для удобного обозначения фиксируются промежутки возрастания, убывания, выпуклость, вогнутость. Рассмотрим на рисунке, изображенном ниже.

Необходимо через отмеченные точки проводить линии графика, что позволит приблизить к асимптотам, следуя стрелочкам.

На этом заканчивается полное исследование функции. Встречаются случаи построения некоторых элементарных функций, для которых применяют геометрические преобразования.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Одной из важнейших задач дифференциального исчисления является разработка общих примеров исследования поведения функций.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке , а ее производная положительна или равна 0 на интервале (a,b), то y=f(x) возрастает на (f"(x)0). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке , а ее производная отрицательна или равна 0 на интервале (a,b), то y=f(x) убывает на (f"(x)0)

Интервалы, в которых функция не убывает или не возрастает, называются интервалами монотонности функции. Характер монотонности функции может изменяться только в тех точках ее области определения, в которой меняется знак первой производной. Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими.

Теорема 1 (1-ое достаточное условие существования экстремума).

Пусть функция y=f(x) определена в точке х 0 и пусть существует окрестность δ>0 такое, что функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (x 0 -δ,x 0)u(x 0 , x 0 +δ), причем ее производная сохраняет постоянный знак на каждом из этих интервалов. Тогда если на x 0 -δ,x 0) и (x 0 , x 0 +δ) знаки производной различны, то х 0 - точка экстремума, а если совпадают, то х 0 - не является точкой экстремума. При этом если при переходе через точку х0, производная меняет знак с плюса на минус (слева от х 0 выполняется f"(x)>0, то х 0 - точка максимума; если же производная меняет знак с минуса на плюс (справа от х 0 выполняется f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции – ее экстремальными значениями.

Теорема 2 (необходимый признак локального экстремума).

Если функция y=f(x) имеет в токе x=x 0 экстремум, то либо f’(x 0)=0, либо f’(x 0) не существует.
В точках экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ox.

Алгоритм исследования функции на экстремум:

1)Найти производную функции.
2)Найти критические точки, т.е. точки, в которых функция непрерывна, а производная равна нулю или не существует.
3)Рассмотреть окрестность каждой из точек, и исследовать знак производной слева и справа от этой точки.
4)Определить координаты экстремальных точек, для этого значения критических точек подставить в данную функцию. Используя достаточные условия экстремума, сделать соответствующие выводы.

Пример 18. Исследовать на экстремум функцию у=х 3 -9х 2 +24х

Решение.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Приравняв производную нулю, находим x 1 =2, x 2 =4. В данном случае производная определена всюду; значит, кроме двух найденных точек, других критических точек нет.
3) Знак производной y"=3(x-2)(x-4) изменяется в зависимости от промежутка так, как показано на рисунке 1. При переходе через точку x=2, производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку x=4 - с минуса на плюс.
4) В точке x=2 функция имеет максимум y max =20, а в точке x=4 - минимум y min =16.

Теорема 3. (2-ое достаточное условие существование экстремума).

Пусть f"(x 0) и в точке х 0 существует f""(x 0). Тогда если f""(x 0)>0, то х 0 – точка минимума, а если f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

На отрезке функция y=f(x) может достигать наименьшего (у наим) или наибольшего (у наиб) значения либо в критических точках функции, лежащих в интервале (а;b), либо на концах отрезка .

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции y=f(x) на отрезке :

1) Найти f"(x).
2) Найти точки, в которых f"(x)=0 или f"(x) - не существует, и отобрать из них те, которые лежат внутри отрезка .
3) Вычислите значение функции y=f(x) в точках, полученных в п.2), а так же на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее: они и являются соответственно наибольшим (у наиб) и наименьшим (у наим) значениями функции на отрезке .

Пример 19. Найти наибольшее значение непрерывной функции y=x 3 -3x 2 -45+225 на отрезке .

1) Имеем y"=3x 2 -6x-45 на отрезке
2) Производная y" существует при всех х. Найдем точки, в которых y"=0; получим:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Вычислим значение функции в точках x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Отрезку принадлежит лишь точка x=5. Наибольшим из найденных значений функции является 225, а наименьшим – число 50. Итак, у наиб =225, у наим =50.

Исследование функции на выпуклости

На рисунке изображены графики двух функций. Первый из них обращен выпуклостью вверх, второй – выпуклостью вниз.

Функция y=f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале (а;b), называется выпуклой вверх (вниз) на этом отрезке, если при axb ее график лежит не выше (не ниже) касательной, проведенной в любой точке M 0 (x 0 ;f(x 0)), где axb.

Теорема 4. Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в любой внутренней точке х отрезка и непрерывна на концах этого отрезка. Тогда если на интервале (а;b) выполняется неравенство f""(x)0, то функция выпукла вниз на отрезке ; если на интервале (а;b) выполняется неравенство f""(x)0, то функция выпукла вверх на .

Теорема 5. Если функция y=f(x) имеет вторую производную на интервале (а;b) и если она меняет знак при переходе через точку x 0 , тогда M(x 0 ;f(x 0)) есть точка перегиба.

Правило нахождения точек перегиба:

1) Найти точки, в которых f""(x) не существует или обращается в нуль.
2) Исследовать знак f""(x) слева и справа от каждой найденной на первом шаге точки.
3) На основании теоремы 4 сделать вывод.

Пример 20. Найти точки экстремума и точки перегиба графика функции y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Имеем f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 . Очевидно, что f"(x)=0 при x 1 =0, x 2 =1. Производная при переходе через точку x=0 меняет знак с минуса на плюс, а при переходе через точку x=1 не меняет знака. Значит, x=0 - точка минимума (у min =12), а в точке x=1 экстремума нет. Далее, находим . Вторая производная обращается в нуль в точках x 1 =1, x 2 =1/3. Знаки второй производной изменяются следующим образом: На луче (-∞;) имеем f""(x)>0, на интервале (;1) имеем f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Следовательно, x= - точка перегиба графика функции (переход с выпуклости вниз на выпуклость вверх) и x=1 - так же точка перегиба (переход с выпуклости вверх на выпуклость вниз). Если x=, то y= ; если, то x=1, y=13.

Алгоритм отыскания асимптоты графика

I. Если y=f(x) при x → a , то x=a - есть вертикальная асимптота.
II. Если y=f(x) при x → ∞ или x → -∞ , тогда у=А - горизонтальная асимптота.
III. Для нахождения наклонной асимптоты используем следующий алгоритм:
1) Вычислить . Если предел существует и равен b, то y=b - горизонтальная асимптота; если , то перейти ко второму шагу.
2) Вычислить . Если этот предел не существует, то асимптоты нет; если он существует и равен k, то перейти к третьему шагу.
3) Вычислить . Если этот предел не существует, то асимптоты нет; если он существует и равен b, то перейти к четвертому шагу.
4) Записать уравнение наклонной асимптоты y=kx+b.

Пример 21: Найти асимптоту для функции

1)
2)
3)
4) Уравнение наклонной асимптоты имеет вид

Схема исследования функции и построение ее графика

I. Найти область определения функции.
II. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
III. Найти асимптоты.
IV. Найти точки возможного экстремума.
V. Найти критические точки.
VI. С помощью вспомогательного рисунка исследовать знак первой и второй производных. Определить участки возрастания и убывания функции, найти направление выпуклости графика, точки экстремумов и точек перегиба.
VII. Построить график, учитывая исследование, проведенное в п.1-6.

Пример 22: Построить по изложенной выше схеме график функции

Решение.
I. Областью определения функции является множество всех вещественных чисел, кроме x=1.
II. Так уравнение x 2 +1=0 не имеет вещественных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью Ох, но пересекает ось Оу в точке (0;-1).
III. Выясним вопрос о существовании асимптот. Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва x=1. Так как y → ∞ при х → -∞, у → +∞ при х → 1+, то прямая x=1 является вертикальной асимптотой графика функции.
Если х → +∞(x → -∞), то у → +∞(y → -∞); следовательно, горизонтальной асимптоты у графика нет. Далее, из существования пределов

Решая уравнение x 2 -2x-1=0 получаем две точки возможного экстремума:
x 1 =1-√2 и x 2 =1+√2

V. Для нахождения критических точек вычислим вторую производную:

Так как f""(x) в нуль не обращается, то критических точек нет.
VI. Исследуем знак первой и второй производных. Точки возможного экстремума, подлежащие рассмотрению: x 1 =1-√2 и x 2 =1+√2, разделяют область существования функции на интервалы (-∞;1-√2),(1-√2;1+√2) и (1+√2;+∞).

В каждом из этих интервалов производная сохраняет знак: в первом – плюс, во втором – минус, в третьем – плюс. Последовательность знаков первой производной запишется так: +,-,+.
Получаем, что функция на (-∞;1-√2) возрастает, на (1-√2;1+√2) убывает, а на (1+√2;+∞) снова возрастает. Точки экстремума: максимум при x=1-√2, причем f(1-√2)=2-2√2 минимум при x=1+√2, причем f(1+√2)=2+2√2. На (-∞;1) график направлен выпуклостью вверх, а на (1;+∞) - вниз.
VII Составим таблицу полученных значений

VIII По полученным данным строим эскиз графика функции

С некоторых пор в TheBat (непонятно по какой причине) перестает корректно работать встроенная база сертификатов для SSL.

При проверке посты выскакивает ошибка:

Неизвестный сертификат СА
Сервер не представил корневой сертификат в сессии и соответствующий корневой сертификат не найден в адресной книге.
Это соедининение не может быть секретным. Пожалуйста
свяжитесь с администратором вашего сервера.

И предлагается на выбор ответы - ДА / НЕТ. И так каждый раз когда снимаешь почту.

Решение

В этом случае случае нужно заменить стандарт реализации S/MIME и TLS на Microsoft CryptoAPI в настройках TheBat!

Так как мне надо было все файлы объединить в один, то я сначала преобразовал все doc файлы в единый pdf файл (с помощью программы Acrobat), а затем уже через онлайн-конвертер перевёл в fb2. Можно же конвертировать файлы и по отдельности. Форматы могут быть совершенно любые (исходные) и doc, и jpg, и даже zip архив!

Название сайта соответствующее сути:) Онлайн Фотошоп.

Апдейт май 2015

Я нашел еще один замечательный сайт! Еще удобнее и функциональнее для создания абсолютно произвольного коллажа! Это сайт http://www.fotor.com/ru/collage/ . Пользуйтесь на здоровье. И сам буду пользоваться.

Столкнулся в жизни с ремонтом электроплиты. Уже много что делал, много чему научился, но как-то с плитками дела имел мало. Нужна была замена контактов на регуляторах и конфорок. Возник вопрос - как определить диаметр конфорки у электроплиты?

Ответ оказался прост. Не надо ничего мерить, можно спокойной на глаз определить какой вам нужен размер.

Самая маленькая конфорка - это 145 миллиметров (14,5 сантиметров)

Средняя конфорка - это 180 миллиметров (18 сантиметров).

И, наконец, самая большая конфорка - это 225 миллиметров (22,5 сантиметров).

Достаточно на глаз определить размер и понять какого диаметра вам нужна конфорка. Я когда этого не знал - парился с этими размерами, не знал как измерять, по какому краю ориентироваться и т.д. Теперь я мудр:) Надеюсь и вам помог!

В жизни столкнулся с такой задачей. Думаю, что не я один такой.

Сегодня мы предлагаем вместе с нами исследовать и построить график функции. После внимательного изучения данной статьи вам не придется долго потеть над выполнением подобного рода задания. Исследовать и построить график функции нелегко, работа объемная, требующая максимального внимания и точности вычислений. Для облегчения восприятия материала мы будем поэтапно изучать одну и ту же функцию, объясним все наши действия и вычисления. Добро пожаловать в удивительный и увлекательный мир математики! Поехали!

Область определения

Для того чтобы исследовать и построить график функции, необходимо знать несколько определений. Функция является одним из основных (базовых) понятий в математике. Она отражает зависимость между несколькими переменными (двумя, тремя и более) при изменениях. Так же функция показывает зависимость множеств.

Представьте, что у нас есть две переменные, которые имеют определенный диапазон изменения. Так вот, у - это функция от х, при условии, что каждому значению второй переменной соответствует одно значение второй. При этом переменная у - зависима, ее и называют функцией. Принято говорить, что переменные х и у находятся в Для большей наглядности данной зависимости строят график функции. Что такое график функции? Это множество точек на координатной плоскости, где каждому значению х соответствует одно значение у. Графики могут быть разные - прямая линия, гипербола, парабола, синусоида и так далее.

График функции невозможно построить без исследования. Сегодня мы научимся проводить исследование и построим график функции. Очень важно в ходе исследования на наносить пометки. Так справиться с задачей будет намного проще. Наиболее удобный план исследования:

1. Область определения.
2. Непрерывность.
3. Четность или нечетность.
4. Периодичность.
5. Асимптоты.
6. Нули.
7. Знакопостоянство.
8. Возрастание и убывание.
9. Экстремумы.
10. Выпуклость и вогнутость.

Начнем с первого пункта. Найдем область определения, то есть на каких промежутках существует наша функция: у=1/3(х^3-14х^2+49х-36). В нашем случае, функция существует при любых значениях х, то есть область определения равна R. Записать это можно следующим образом хÎR.

Непрерывность

Сейчас мы с вами будем исследовать функцию на разрыв. В математике термин «непрерывность» появился в результате изучения законов движения. Что является бесконечным? Пространство, время, некоторые зависимости (примером может служить зависимость переменных S и t в задачах на движение), температура нагреваемого объекта (воды, сковороды, термометра и так далее), непрерывная линия (то есть та, которую можно нарисовать, не отрывая от листа карандаш).

Непрерывным считается график, который не разрывается в некоторой точке. Одним из самых наглядных примеров такого графика является синусоида, которую вы можете увидеть на картинке в данном разделе. Функция непрерывна в некоторой точке х0, если соблюден ряд условий:

• в данной точке определена функция;
• правый и левый предел в точке равны;
• предел равен значению функции в точке х0.

При несоблюдении хотя бы одного условия говорят, что функция терпит разрыв. А точки, в которых разрывается функция, принято называть точками разрыва. Примером функции, которая при графическом отображении будет «разрываться», может служить: у=(х+4)/(х-3). При этом у не существует в точке х=3 (так как на нуль делить нельзя).

В функции, которую исследуем мы (у=1/3(х^3-14х^2+49х-36)) оказалось все просто, так как график будет являться непрерывным.

Четность, нечетность

Теперь исследуйте функцию на четность. Для начала немного теории. Четной называют ту функцию, которая удовлетворяет условию f(-x)=f(x) при любом значении переменной х (из области значений). Примерами могут служить:

• модуль х (график похож на галку, биссектриса первой и второй четверти графика);
• х в квадрате (парабола);
• косинус х (косинусоида).

Обратите внимание на то, что все эти графики симметричны, если рассматривать это относительно оси ординат (то есть у).

А что же тогда называют нечетной функцией? Таковыми являются те функции, которые удовлетворяют условию: f(-х)=-f(х) при любом значении переменной х. Примеры:

• гипербола;
• кубическая парабола;
• синусоида;
• тангенсоида и так далее.

Обратите внимание на то, что данные функции имеют симметрию относительно точки (0:0), то есть начала координат. Исходя из того, что было сказано в данном разделе статьи, четная и нечетная функция должна обладать свойством: х принадлежит множеству определения и -х тоже.

Исследуем функцию на четность. Мы можем заметить, что она не подходит ни под одно из описаний. Следовательно, наша функция не является ни четной, ни нечетной.

Асимптоты

Начнем с определения. Асимптота - это кривая, которая максимально приближена к графику, то есть расстояние от некоторой точки стремится к нулю. Всего выделяют три вида асимптот:

• вертикальные, то есть параллельные оси у;
• горизонтальные, то есть параллельные оси х;
• наклонные.

Что касается первого вида, то данные прямые стоит искать в некоторых точках:

• разрыв;
• концы области определения.

В нашем случае функция непрерывна, а область определения равна R. Следовательно, вертикальные асимптоты отсутствуют.

Горизонтальная асимптота есть у графика функции, который отвечает следующему требованию: если х стремится к бесконечности или минус бесконечности, а предел равен некоторому числу (например, а). В данном случае у=а - это и есть горизонтальная асимптота. В исследуемой нами функции горизонтальных асимптот нет.

Наклонная асимптота существует только в том случае, если соблюдены два условия:

• lim (f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Тогда ее можно найти по формуле: у=kx+b. Опять же, в нашем случае наклонных асимптот нет.

Нули функции

Следующим этапом нам необходимо исследовать график функции на нули. Очень важно отметить и то, что задание, связанное с нахождением нулей функции, встречается не только при исследовании и построении графика функции, но и как самостоятельное задание, и как способ решения неравенств. От вас могут потребовать найти нули функции на графике или использовать математическую запись.

Нахождение данных значений поможет вам более точно составить график функции. Если говорить простым языком, то нуль функции - это значение переменной х, при которой у=0. Если вы ищите нули функции на графике, то стоит обратить внимание на точки, в которых происходит пересечение графика с осью абсцисс.

Чтобы найти нули функции, необходимо решить следующее уравнение: у=1/3(х^3-14х^2+49х-36)=0. После проведения необходимых вычислений, мы получаем следующий ответ:

Знакопостоянство

Следующий этап исследования и построения функции (графика) - это нахождение промежутков знакопостоянства. Это значит, что мы должны определить, на каких промежутках функция принимает положительное значение, а на каких - отрицательное. Это нам помогут сделать найденные в прошлом разделе нули функции. Итак, нам нужно построить прямую (отдельно от графика) и в правильном порядке распределить по ней нули функции от меньшего к большему. Теперь нужно определить, какой из полученных промежутков имеет знак «+», а какой «-».

В нашем случае, функция принимает положительное значение на промежутках:

• от 1 до 4;
• от 9 до бесконечности.

Отрицательное значение:

• от минус бесконечности до 1;
• от 4 до 9.

Это определить достаточно просто. Подставьте любое число из промежутка в функцию и посмотрите с каким знаком получился ответ (минус или плюс).

Возрастание и убывание функции

Для того чтобы исследовать и построить функцию, нам необходимо узнать, где график будет возрастать (идти вверх по Оу), а где будет падать (ползти вниз по оси ординат).

Функция возрастает только в том случае, если большему значению переменной х соответствует большее значение у. То есть х2 больше х1, а f(х2) больше f(x1). И совершенно обратное явление мы наблюдаем у убывающей функции (чем больше х, тем меньше у). Для определения промежутков возрастания и убывания необходимо найти следующее:

• область определения (у нас уже есть);
• производную (в нашем случае: 1/3(3х^2-28х+49);
• решить уравнение 1/3(3х^2-28х+49)=0.

После вычислений мы получаем результат:

Получаем: функция возрастает на промежутках от минуса бесконечности до 7/3 и от 7 до бесконечности, а убывает на промежутке от 7/3 до 7.

Экстремумы

Исследуемая функция y=1/3(х^3-14х^2+49х-36) является непрерывной и существует при любых значениях переменной х. Точка экстремума показывает максимум и минимум данной функции. В нашем случае таковых не имеется, что значительно упрощает задачу построения. В противном случае так же находятся при помощи производной функции. После нахождения не забывайте отмечать их на графике.

Выпуклость и вогнутость

Продолжаем далее исследовать функцию y(x). Сейчас нам нужно проверить ее на выпуклость и вогнутость. Определения этих понятий достаточно тяжело воспринять, лучше все проанализировать на примерах. Для теста: функция выпуклая, если является неубывающей функции. Согласитесь, это непонятно!

Нам нужно найти производную от функции второго порядка. Мы получаем: у=1/3(6х-28). Теперь приравняем правую часть к нулю и решим уравнение. Ответ: х=14/3. Мы нашли точку перегиба, то есть место, где график меняет выпуклость на вогнутость или наоборот. На промежутке от минус бесконечности до 14/3 функция выпукла, а от 14/3 до плюс бесконечности - вогнута. Очень важно отметить и то, что точка перегиба на графике должна быть плавной и мягкой, никаких острых углов присутствовать не должно.

Определение дополнительных точек

Наша задача - исследовать и построить график функции. Мы закончили исследование, построить график функции теперь не составит труда. Для более точного и детального воспроизведения кривой или прямой на координатной плоскости можно найти несколько вспомогательных точек. Их вычислить довольно просто. Например, мы возьмем х=3, решаем полученное уравнение и находим у=4. Или х=5, а у=-5 и так далее. Дополнительных точек вы можете брать столько, сколько вам необходимо для построения. Минимум их находят 3-5.

Построение графика

Нам необходимо было исследовать функцию (x^3-14х^2+49х-36)*1/3=у. Все необходимые пометки в ходе вычислений были нанесены на координатной плоскости. Все что осталось сделать - построить график, то есть соединить все точки между собой. Соединять точки стоит плавно и аккуратно, это дело мастерства - немного практики и ваш график будет идеальным.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.